注意事项：
１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6=0}, 则P∩Q等于( )
A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
2.函数f(x)=11+x2 (x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
3. 已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
4.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.±2 B.±2 B.±22 D.±4
6. “α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.设x,y为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为( )
A. 6 B.9 C.12 D.15
8.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )•BC→=0且AB→|AB→| •AC→|AC→| =12 , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
9. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1<x2 , x1+x2=0 , 则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
10. 已知双曲线x2a2 － y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.263 D.233
11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( )
A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
14.(2x－1x)6展开式中常数项为 (用数字作答)
16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 .
15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
17.(本小题满分12分)
甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25, 12, 13.现3人各投篮1次,求:
(Ⅰ)3人都投进的概率;
(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.
18. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=3sin(2x－π6)+2sin2(x－π12) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
19. (本小题满分12分)
如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=2, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.
20. (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
21. (本小题满分12分)
如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足AD→=tAB→, BE→ = t BC→, DM→=t DE→, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
22.（本小题满分１4分）
已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.
2006年高考文科数学参考答案（陕西卷）
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A
10．D 11．D 12．C
二、填空题
13．－12 14．60 15．1320 16．3R
三、解答题
17.解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A1 , "乙投进"为事件A2 , "丙投进"为事件A3,
则 P(A1)= 25, P(A2)= 12, P(A3)= 13,
∴ P(A1A2A3)=P(A1) •P(A2) •P(A3) = 25 ×12 ×35= 325
∴3人都投进的概率为325
(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B
P(B)=P(A1－A2A3)+P(A1A2－A3)+P(A1A2A3－)
=P(A1－)•P(A2)•P(A3)+P(A1)•P(A2－)•P(A3)+P(A1)•P(A2)•P(A3－)
=(1－25)×12 ×35 + 25×(1－12)×35 + 25×12 ×(1－35) = 1950
∴3人中恰有2人投进的概率为1950
18.解:(Ⅰ) f(x)=3sin(2x－π6)+1－cos2(x－π12)
= 2[32sin2(x－π12)－12 cos2(x－π12)]+1
=2sin[2(x－π12)－π6]+1
= 2sin(2x－π3) +1
∴ T=2π2 =π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－π3)=1,有 2x－π3 =2kπ+π2
即x=kπ+ 5π12 (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12 , (k∈Z)}.
19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1=2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 = BB1AB = 22 . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1=AA1AB = 12 , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=2. ∴Rt△AA1B中,A1B=AB2－AA12 =4－1 = 3. 由AA1•A1B=A1F•AB得 A1F=AA1•A1BAB = 1×32 = 32,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = A1EA1F = 63 , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin63 .
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得AF→=tAB→ , 即(x,y,z－1)=t(2,1,－1), ∴点F的坐标为(2t, t,1－t).要使A1F→⊥AB→,须A1F→•AB→=0, 即(2t, t,1－t) •(2,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=14 , ∴点F的坐标为(24,－14, 34 ), ∴A1F→=(24,14, 34 ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,12, 12). ∴EF→=(24,－14,14).
又EF→•AB→=(24,－14,14)•(2,1,－1)= 12 － 14 － 14 =0, ∴EF→⊥AB→, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= A1F→•EF→|A1F→|•|EF→| = (24，14，34)•(24，－14，14)216+116+916 •216+116+116 = 18－116+31634 •12 = 13 = 33 ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos33 .
20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD→=tAB→, BE→ = t BC→,
知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴xD=－2t+2yD=－2t+1 同理 xE=－2tyE=2t－1 .
∴kDE = yE－yDxE－xD = 2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2) = 1－2t. ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵DM→=t DE→ ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴x=2(1－2t)y=(1－2t)2 , ∴y=x24 , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, OD→=OA→+AD→ = OA→+ tAB→ = OA→+ t(OB→－OA→) = (1－t) OA→+tOB→,
OE→ = OB→+BE→ = OB→+tBC→ = OB→+t(OC→－OB→) =(1－t) OB→+tOC→,
OM→ = OD→+DM→= OD→+ tDE→= OD→+t(OE→－OD→)=(1－t) OD→+ tOE→
= (1－t2) OA→ + 2(1－t)tOB→+t2OC→ .
设M点的坐标为(x,y),由OA→=(2,1), OB→=(0,－1), OC→=(－2,1)得
x=(1－t2)•2+2(1－t)t•0+t2•(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2•1+2(1－t)t•(－1)+t2•1=(1－2t)2 消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22.解: （I）当k=0时, f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞,0],单调减区间[0,+∞).
当k>0时 , f ’(x)=3kx2－6x=3kx(x－2k)
∴f(x)的单调增区间为(－∞,0] , [2k , +∞), 单调减区间为[0, 2k].
（II）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.
当k>0时, 依题意 f(2k)= 8k2 － 12k2 +1>0 ,
即k2>4 , 由条件k>0, 所以k的取值范围为(2,+∞)
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